Metoda iterative e pikës fikse 'Gauss-Seidel'

• Author: Flutura Hoxholli
• Pages: 210-221

210

Vol. 4 No.2

September, 2018

Balkan Journal of Interdisciplinary Research

IIPCCL Publishing, Graz-Austria

ISSN 2410-759X

Acces online at www.iipccl.org

Metoda iterative e pikës fi kse “ Gauss–Seidel ”.

MSc. Flutura Hoxholli

Abstrakt

Për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare përdoren dy klasa metodash, metodat e

drejtëpërdrejta (ose te sakta) dhe ato iterative. Secila klasë karakterizohet nga kushtet dhe

hapësira e vet e përdorimit. Ideja e metodës iterative qëndron në ndërtimin e një vargu

vektorësh { Xn }, i cili konvergjon tek zgjidhja e saktë e sistemit Ax = b.

Këtu është i nevojshëm një përafrim fi llestar X(0) , si dhe kriteret për të ndaluar procesin

iterative. Shpesh, si përafrim fi llestar merret vektori zero ose vektori me të gjitha komponentet

të barabarta me 1. Zgjedhja e t në mënyrë të rastit, në një zonë të caktuar, do të ishte gjithashtu

e pranueshme.

Për ta zbatuar metodën iterative, sistemit Ax = b i jepet trajta: x = Tx + d ku T është një matricë

katrore e rendit n, që quhet matrice e kalimit, ndërsa d është një vector shtyllë me n përmasa.

Fjalet kyce: metoda iterative, pika fi kse, Gauss-Seidel.

Hyrje

Në ketë punim jepet metoda iterative e pikës fi kse për zgjidhjen e sistemeve të

ekuacioneve lineare për matrica të plota dhe disa tipe të vecanta matricash të rralla.

Metoda shoqërohet me një analizë të gabimit si dhe me teoremë konvergjence në

rastin e metodës iterative.

Sistemet e ekuacioneve lineare janë nga modelet që hasen më dendur në praktikën e

eksperimentimit shkencorë, në një mumër të madh zbatimesh të shkencave natyrorë,

teknike, ekonomike etj. Prandaj problemi i zgjidhjes numerike të tyre përben një nga

problemet themelore të analizës numerike matricore.

Në përgjithësi, zgjidhja numerike e sistemeve të ekuacioneve lineare me një numër të

madh të panjohurash nuk është punë e lehtë, megjithëse teorikisht ekzistojnë metoda

standarte për zgjidhjen e kët problemi. Kjo për faktin se në praktikën mjehsuese,lindin

vështirësi që kanë të bëjnë me pamundesinë e njehsimeve në rastin e sistemeve me matrica

të pakthyeshme (det(A)=0), me humbjen e mundshme të saktësisë për arsye të përdorimit

të aritmetikës së fundme, me përfundimin e zgjidhjes në një kohë të gjatë e të tjera.

Metoda iterative për zgjidhjen e një sistemi ekuaacionesh lineare me matricë A të

kthyeshme, ndërtojne vargje përafrimesh të zgjidhjes të cilat, nën disa kushte,

konvergjojnë te zgjidhja e saktë e sistemit. Metoda iterative në ndryshim me atë të

drejtëpërdrejtë është e vetëkorigjuese sepse ajo prodhon përafrim gjithnjë e më të mir

është duke dhënë si zgjidhje një përafrim të pranueshëm. Për zgjidhjen numerike

të sistemeve të ekuacioneve të ekuacioneve lineare përdoren dy klasa metodash,

metodat e drejtëperdrejta (ose te sakta) dhe ato iterative. Secila klasë karakterizohet

mga kushtet dhe hapësira e vet e përdorimit.

Pika fi kse: Një pikë, s , thuhet se quhet pikë fi kse nëse ajo kënaq ekuacionin x = g(x).

Iteracioni i pikës fi kse: Ekuacioni transhendent f(x) = 0 mund të konvertohet në formën

algjebrike x = g(x) dhe pastaj duke përdorur skema iterative me lidhje rekursive xi+1=

g(xi), i = 0, 1, 2, . . ., me një përafrim fi llestare x0 arr ne ne limit tek pika fi kse..